El procedimiento hay que inciarlo desde el principio aqui, abajo a la derecha donde pone armas y explosivos/CIUDADANOS :
https://sede.guardiacivil.gob.es/Y a partir de ahi seguir los pasos.
Efectivamente, buscar en google, tiene el peligro de que alguno de los resultados te lleve a una página que no es el principio del procedimiento y te salte algún paso.
Yo recientemente he cambiado de comunidad autonoma, de residencia, vamos, y he usado en ese mismo link la "solicitud genérica ciudadanos" para notificar el cambio de domicilio. No hay un enlace especifico para eso.
Y dos meses después sigue mi solicutud como "recibida", ni la han cambiado de estado. Y he llamado y telefonicamente me han comprobado todo y ya está gestionado el cambio de residencia.